Erste Schritte

NOTATION

Es gibt R Befragte mit Individuen r = 1 ... R.

Lassen Sie jeden Befragten T Aufgaben mit t = 1 ... T haben

Lassen Sie jede Aufgabe t C-Konfigurationen (oder Konzepte) mit c = 1 ... C haben (C ist in unserem Fall normalerweise 3 oder 4)

Wenn wir A-Attribute haben, a = 1 bis A, wobei jedes Attribut La-Ebenen hat, l = 1 bis La, dann ist der Teilwert für a

bestimmtes Attribut / Niveau ist w '(a, l). Es ist dieses (gezackte Gitter) von Teilwerten, nach denen wir in dieser Übung suchen.

Vereinfachen Sie dies zu einem eindimensionalen Gitter w (s), in dem die Elemente sind:
```
 {w '(1,1), w' (1,2) ... w '(1, L1), w' (2,1) ... w '(A, LA)} mit w mit S Elementen .
```
Eine bestimmte Konfiguration x kann als eindimensionales Gitter x (s) dargestellt werden, wobei x (s) = 1 ist, wenn die spezifische Ebene / Attribut vorhanden ist, andernfalls 0.

Lassen Sie Xrtc die spezifische Konfiguration der c-ten Konfiguration in der t-ten Aufgabe für den r-ten Befragten darstellen.

Der Versuchsaufbau wird durch die vierdimensionale Matrix X mit der Größe RxTxCxS dargestellt

Wenn der Befragte r in Aufgabe t die Konfiguration c wählt, sei Yrtc = 1; sonst 0.
NUTZEN EINER BESTIMMTEN KONFIGURATION
Das Dienstprogramm Ux einer bestimmten Konfiguration ist die Summe der Teilewerte für die in der Konfiguration vorhandenen Attribute / Ebenen, dh das Skalarprodukt xw
DAS MULTI-NOMIALE LOGIT-MODELL

Für eine einfache Auswahl zwischen zwei Konfigurationen mit den Dienstprogrammen U1 und U2 sagt das MNL-Modell voraus, dass Konfiguration 1 ausgewählt wird
```
 EXP (U1) / (EXP (U1)   EXP (U2)) der Zeit (eine Zahl zwischen 0 und 1).
```
Für eine Auswahl zwischen N Konfigurationen wird Konfiguration 1 ausgewählt
```
 EXP (U1) / (EXP (U1)   EXP (U2)   ...   EXP (UN)) der Zeit.
```
MODELLIERTE WAHLWAHRSCHEINLICHKEIT

Die Auswahlwahrscheinlichkeit (unter Verwendung des MNL-Modells) für die Auswahl der c-ten Konfiguration in der t-ten Aufgabe für den r-ten Befragten ist:
```
 Prtc = EXP (xrtc.w) / SUMME (EXP (xrt1.w), EXP (xrt2.w), ..., EXP (xrtC.w))
```
LOG-WAHRSCHEINLICHKEITSMAß

Das Log-Likelihood-Maß LL wird berechnet als:

Prtc ist eine Funktion des Teilwertvektors w, der die Menge der Teilwerte darstellt, nach denen wir suchen.
LÖSUNG FÜR TEIL-WERTE MIT MAXIMALER WAHRSCHEINLICHKEIT

Wir lösen für den Teilwertvektor, indem wir den Vektor w finden, der den Maximalwert für LL ergibt. Beachten Sie, dass wir nach S-Variablen suchen.

Dies ist ein mehrdimensionales nichtlineares Problem der kontinuierlichen Maximierung und erfordert eine Standardlöserbibliothek. Wir verwenden den Nelder-Mead-Simplex-Algorithmus.

Die Log-Likelihood-Funktion sollte als Funktion LL (w, Y, X) implementiert und dann optimiert werden, um den Vektor w zu finden, der uns ein Maximum gibt. Die Antworten Y und das Design X sind gegeben und für eine spezifische Optimierung konstant. Anfangswerte für w können auf den Ursprung 0 gesetzt werden.

Die endgültigen Teilewerte w werden neu skaliert, so dass die Teilewerte für jedes Attribut einen Mittelwert von Null haben, indem einfach der Mittelwert der Teilewerte für alle Ebenen jedes Attributs subtrahiert wird.