はじめに

NOTATION

R 人の回答者がいて、個人 r = 1 ... R であるとします。

各回答者に T 個のタスクを見てもらいます (t = 1 ... T)

各タスク t に C の構成 (または概念) を持たせます (c = 1 ... C (この場合の C は通常 3 または 4))。

A の属性 (a = 1 ～ A) があり、各属性が La レベル (l = 1 ～ La) を持つ場合、a の部分価値は

特定の属性/レベルは w'(a,l) です。この演習で解決するのは、この部分の値 (ギザギザの配列) です。我々はできる

これを 1 次元配列 w(s) に単純化します。要素は次のとおりです。
```
 {w'(1,1), w'(1,2) ... w'(1,L1), w'(2,1) ... w'(A,LA)} (w は S 要素を持つ) 。
```
特定の構成 x は、1 次元配列 x(s) として表すことができます。ここで、特定の構成の場合は x(s)=1 となります。

レベル/属性が存在する場合、それ以外の場合は 0 になります。

Xrtc が、r 番目の回答者の t 番目のタスクの c 番目の構成の特定の構成を表すものとします。したがって、

実験計画は、サイズ RxTxCxS の 4 次元行列 X で表されます。

回答者 r がタスク t で構成 c を選択した場合、Yrtc=1 とします。それ以外の場合は 0。
UTILITY OF A SPECIFIC CONFIGURATION
特定の構成のユーティリティ Ux は、構成内に存在する属性/レベルの部分価値の合計です。つまり、スカラー積 xw です。
THE MULTI-NOMIAL LOGIT MODEL

ユーティリティ U1 と U2 を使用した 2 つの構成間の単純な選択の場合、MNL モデルは構成 1 が選択されると予測します。
```
その時のEXP(U1)/(EXP(U1) + EXP(U2))(0から1までの数値)。
```
N 個の構成から選択する場合は、構成 1 が選択されます
```
当時のEXP(U1)/(EXP(U1) + EXP(U2) + ... + EXP(UN))。
```
MODELED CHOICE PROBABILITY

r 番目の回答者に対する t 番目のタスクで c 番目の構成を選択する選択確率 (MNL モデルを使用) を次のようにします。
```
 Prtc=EXP(xrtc.w)/SUM(EXP(xrt1.w), EXP(xrt2.w), ... , EXP(xrtC.w))
```
LOG-LIKELIHOOD MEASURE

対数尤度尺度 LL は次のように計算されます。

Prtc は部分価値ベクトル w の関数であり、これは私たちが解決している部分価値のセットです。
SOLVING FOR PART-WORTHS USING MAXIMUM LIKELIHOOD

LL の最大値を与えるベクトル w を見つけることによって、部分価値ベクトルを解きます。 S 変数について解いていることに注意してください。

これは多次元の非線形連続最大化問題であり、標準のソルバーライブラリが必要です。 Nelder-Mead シンプレックスアルゴリズムを使用します。

対数尤度関数は関数 LL(w, Y, X) として実装し、最大値を与えるベクトル w を見つけるように最適化する必要があります。応答 Y と設計 X が与えられ、特定の最適化では一定です。 w の初期値は原点 0 に設定できます。

最終的な部分価値 w は、各属性のすべてのレベルの部分価値の平均を減算するだけで、任意の属性の部分価値が平均 0 になるように再スケーリングされます。